Ueber den
Gebrauch und die Einrichtung
des vor kurzem erfundenen
Planimeters

Der Verfasser.

1. Das Planimeter ist ein Instrument, durch welches der Inhalt einer, in verjüngtem Maaßstabe geometrisch aufgetragenen Fläche, ohne Zirkel und ohne Rechnung gefunden werden kann. Die bis jetzt damit gemachten Versuche geben folgendes wichtige Resultat: 1) Die Genauigkeit des Planimeters ist durch die Berechnung mit Zirkel und Maaßstab nur schwer zu erreichen. 2) Die Pläne bleiben viel sauberer und werden weder durch Zirkelrisse noch durch das Einsetzen des Zirkels in die Punkte verdorben. 3) Die Arbeit gewinnt an Zuverlässigkeit unendlich, indem alle Fehler und Irrthümer vermieden werden, welche durch das Abgreifen der Maaße und durch das Rechnen entstehen können. 4) Endlich wird die Arbeit um mehr denn das Doppelte gefördert, indem ein fleißiger Arbeiter, bei einiger Fertigkeit im Gebrauch des Instruments, täglich 6 - 800 Trapezien mißt, wozu auch der fleißigste Rechner wenigstens 2 - 3 Tage gebrauchen würde.
2. Die Konstruktion dieses Instrumentes beruht auf der Lehre von den geometrischen Proportionen.
   In den beiden ähnlichen rechtwinkelichten Dreiecken a b c und a e d (Fig. IV.) ist bc:ab=ed:ae, folglich ed.ab=bc.ae. Der Inhalt des Dreiecks a e c ist also = ½ de.ab und da nun jede auf a f errichtete senkrechte Linie mit den beiden Schenkeln a g und a f ein Dreieck bildet, welches a b c ähnlich ist, so ist eine solche, multiplizirt mit ½ a b auch allemal das Maaß eines Dreiecks welches b c zur Höhe und die Entfernung der Senkrechten von a, zur Grundlinie hat. Ebenfalls werden alle auf a f errichtete Senkrechte durch alle Diagonale, welche aus a durch b h gehen, proportionirt geschnitten, und es folgt also hieraus der allgemeine Satz:
   Der Inhalt eines jeden Dreiecks ist in dem Maaße einer Senkrechten enthalten, welche auf e (dem Endpunkt der Grundlinie) errichtet, durch eine aus a (dem Anfangspunkt der Grundlinie) über die aus b (einem auf der Grundlinie willkührlich angenommenen Punkte) senkrecht aufgetragene Höhe der Figur gehende Diagonale geschlossen, und mit ½ ab multiplizirt wird.
   Hat man also ein Instrument welches an die Grundlinie eines Dreiecks sich anschließend, die Höhe desselben, aus einem auf der Grundlinie beliebig angenommenen Punkte b senkrecht aufträgt, hat man einen Mechanism, welcher aus a (dem Anfangspunkt der Grundlinie) eine Diagonale über diesen Höhepunkt bildet, und hat man endlich einen Maaßstab, welcher sich zu dem der Figur verhält wie ½ ab zu 1 und welcher auf der Grundlinie bis zu dem Endpunkte derselben senkrecht fortbewegt werden kann, so ist die Aufgabe leicht zu lösen, den Inhalt eines Dreiecks ohne Zirkel und ohne Rechnung zu finden.
   Nach diesen Verhältnissen und Bedingungen ist das Fig. I. abgebildete Planimeter konstruirt, zu dessen näherer Beschreibung ich nun übergehe.
3. Die Kante K L, an dem Triangel I K L, welche sich an O P senkrecht und mit A D parallel auf und nieder bewegt, dient dazu, vermittelst des Punktes C die Höhe der zu messenden Figur senkrecht über b (Fig. IV) zu tragen, welches dadurch geschieht, daß man, A auf a, A D über a e anlegt und K L über den Höhepunkt der Figur richtet. Da nun alle Senkrechte zwischen Parallelen gleich sind, und C von der unteren Kante des Randes K L eben so weit absteht als E F von der unteren Kante des Randes A D, ferner eine aus C auf A D fallende Senkrechte allezeit auf B trifft, so mißt selbige nicht nur die Höhe der Figur, sobald K L ihren Höhepunkt durchschneidet, sondern trägt diese Höhe auch senkrecht über B, welches den in Fig. IV angenommenen Punkt b bezeichnet, C ist daher nach §2 der beständige Durchschnittspunkt einer Diagonale, welche von dem, den Anfang der Grundlinie bildenden Punkte E ausgeht und durch das um C sich bewegende Lineal M N gebildet wird, indem man dieses bis zu der senkrechten Kante E, des auf B liegenden Vorsprungs E Q umdreht. Der Triangel H F G enthält auf dem Rande F H einen, auf die Entfernung des Punktes B von E (in Fig. IV b von a) berechneten Flächenmaaßstab, gleich dem Maaßstab der Figur mulitplizirt mit ½E B. Wäre nun E B angenommen zu 20 Ruthen, so gaben 10 Ruthen auf dem Maaßstabe der Figur schon ²⁰/₂×10=100 Ruthen auf dem Maaßstabe des Instruments und 100 Ruthen auf dem Maaßstab der Figur gäben auf dem Maaßstabe des Instruments ²⁰/₂×100=1000 Ruthen u.s.w.
4. Man sieht hieraus, daß die Entfernung des Höhenpunktes B von E zwar willkührlich ist, es wird aber, nach dem für den Flächenmaaßstab daraus entstehenden Verhältnis, dieser um so größer je kleiner E B und wiederum desto kleiner je größer E B angenommen wird. Daraus geht aber auch zugleich hervor, daß man den Inhalt ganz kleiner und ganz großer Figuren nicht füglich mit einem und demselben Instrumente messen kann. Denn wenn der Flächenmaaßstab die Größe has daß der Inhalt solcher Figuren, welche mehrere 100 bis 1000 Ruthen und drüber enthalten bis auf eine halbe Ruthe richtig abgeschätzt werden kann, so ist diese Genauigkeit schon hinreichend, indem man bei der Berechnung mit Zirkel und Maaßstab dem wahren Inhalt einer Figur selten bis auf ¹/₄₀₀ nahe kommt. Bei kleineren Figuren dagegen wird schon eine größere Genauigkeit gefordert und man muß also bei diesen ein solches Instrument anwenden, an welchem die Entfernung des Höhenpunktes B von E so gering und demzufolge der Flächenmaaßstab so groß ist, daß man den Inhalt bis auf ¹/₁₀ Ruthe abschätzen kann. Es würde zwar eine solche Genauigkeit auch bei größeren Figuren nicht überflüssig sein, dann aber müßte ein Maaßstab von 1000 Ruthen schon eine Ausdehnung erhalten, die den Gebrauch des Instrumentes ungemein erschwerte, und doch dürfte er nicht weniger umfassen , weil Dreiecke von dieser und noch größerer Dmension in der praktischen Geometrie haüfig vorkommen.
   Eine besondere Abbildung von einem solchen kleineren Instrumente zu liefern, habe ich nicht für nöthig erachtet. Die Konstruktion beider ist im Wesentlichen dieselbe; nur hat das kleinere bei einer geringeren Entfernung des Höhenpunktes von E einen größeren Maaßstab, und ist dadurch, daß der Schenkel P D im Verhältnis zu O P sehr lang und das ganze Instrument merklich kleiner ist, hauptsächlich für kleinere Dreiecke und einzelne Ackerstücke berechnet, welche großentheils bei einer geringen Breite unverhältnißmäßig lang sind. Die Ausdehnung beider wird daher ihrem Zweck am angemessensten seyn, wenn der Maaßstab des kleineren etwa 120 - 150 und der des größeren 1000 - 1200 Ruthen umfaßt, und daher die Entfernung des Höhenpunktes von E bei dem kleineren zu 5 - 6 und bei dem größeren zu 20 - 25 Ruthen nach dem Maaßstab 1:1250 angenommen wird.
5. Wir haben also an dem eben beschriebenen Instrumente einen Mechanism, durch welchen die Höhe des zu messenden Dreiecks mit Leichtigkeit über einen angenommenen festen Punkt (B) der Kante A D gebracht wird, sobald diese A auf a an die Grundlinie gelegt ist; wir haben ferner einen Mechanism durch welchen eben so leicht aus dem Anfangspunkte dieser (nach E F getragenen) Grundlinie eine Diagonale durch die, vermittelst des Triangels J K L gefundene Höhe gebildet werden kann, und haben endlich einen Maaßstab der so berechnet und eingerichtet ist, daß uns die eben erwähnte Diagonale nach dem §2 aufgestellten Satze, den Inhalt der zu messenden Figur darauf abschneidet. Und dieß wars was wir von dem Instrument begehrten.
   Es ergiebt sich übrigens aus dem Allen von selbst, daß das Instrument nach dem Maaßstabe des zu messenden Planes eingerichtet seyn, und bei Plänen, welche nach einem andern Maaßstab aufgetragen sind, auch ein anderer Flächenmaaßstab gebraucht, aber das gefundene Maaß nach dem Maaßstabe des Planes reduzirt werden müsse.
6. Die an den beiden Stäben O P und P D angebrachte Eintheilung, dient zum Berechnen mit Originalzahlen, wenn die Höhe der zu berechnenden Figur nicht über 5 und ihre Grundlinie nicht über 35 Ruthen beträgt. Dieses Berechnen mit Originalzahlen ist, wenn es auch weniger fördert, dennoch der Genauigkeit wegen bei ganz kleinen Grundstücken vorzuziehen. Man erreicht zwar durch das planimetrische Messen besonders bei kleineren Figuren eine größere Genauigkeit als durch Berechnen nach dem Maaßstabe, diejenigen Fehler aber, welche aus Mangelhaftigkeit der Werkzeuge durch das Auftragen und Ausziehen des Planes entstehen, können nur durch Berechnung nach den Feldnoten ganz vermieden werden.
7. Zur weiteren Erläuterung der von dem Instrumente gegebenen Abbildung möge Folgendes dienen:
   Vermittelst eines oben ausgebrochenen messingenen Schiebers, welcher den Stab P D an der obern und den beiden Seitenflächen umschließt, wird der Triangel H F G an A D senkrecht fortbewegt und vermittelst einer an e angebrachten gegen P D drückenden Feder allezeit rechtwinkelicht angezogen.
   Dieses senkrechte Fortbewegen berüht hauptsächlich auf der unter F G befestigten Leiste, welche bei F senkrecht abgeschnitten seyn muß, damit der Endpunkt der Grundlinie einer zu messenden Figur sich genau auf F übertrage, wenn der äußere Rand der gedachten Leiste auf jenen gestellt ist. Der mit f bezeichnete, auf beiden Seiten von e befestigte und an dem abgeschrägten Rand des eingeschlossenen Stabes liegende Zapfen verhindert beim Aufnehmen des Instrumentes das Abfallen des Triangels H F G, welcher vermittelst einer an e angebrachten, gegen den Stab P D drückenden Feder allezeit rechtwinkelicht angezogen wird.
   Ein ähnlicher Schieber (Fig. III) befindet sich auch an dem Triangel I K L, nur daß diesem die innere Seitenleiste fehlt indem hier der Triangel selbst an den Stab O P anschließt und mit diesem horizontal auf dem Papier aufliegt, da hingegen der Triangel H F G über dem Lineal M N sich fortbewegt und daher um so viel von dem Papiere absteht, als die Dicke des Lineals M N und des Triangels I K L zusammen beträgt. Der zwischen g und k befindliche schmale Raum dient zur Erleichterung der 2ten Bewegung, bei der 3ten Aufgabe; so wie die auf b und g angebrachte Eintheilung zum genaueren Ablesen der Schuhe und Zolle der darunter befindlichen Maaßstäbe. Es versteht sich übrigens von selbst, daß auf diesen wie auf dem Flächenmaaßstabe die angefangene Eintheilung bis zu Ende fortgesetzt werden muß.
   Die beiden Ränder K L und H F sind nicht senkrecht, sondern bilden mit der unteren Fläche der Triangel einen Winkel von etwa 60°: bei dem ersteren damit er das Licht besser zulasse und bei dem andern damit der Inhalt desto bequemer abgelesen werden könne. Dies ist zugleich der Grund warum C nicht senkrecht über der untern Kante von K L stehen konnte und deswegen um so viel davon entfernt wurde als nachher die Punkte E und F von A D.
8. Dem bisher Gesagten, welches wie ich glaube, die Einrichtung des Planimeters hinreichend erläutert und jeden geschickten Mechaniker in den Stand setzen kann, durch Hülfe der beigefügten Abbildung dieses Instrument anzufertigen, will ich auch über den Gebrauch desselben das Nöthige beifügen.

   1^te Aufgabe.

   Den Flächeninhalt eines Dreiecks zu finden.
   1) Man lege den Punkt A an dem Instrumente dergestalt auf a (Fig. VI.) daß die Kante A D an der Grundlinie a b genau anliegt. 2) Man halte mit der rechten Hand das Instrument fest und bringe mit der linken die Kante K L bis auf c. 3) Man drücke mit der linken das Instrument an und führe mit der Rechten das Lineal M N bis an die Kante E. 4) Man setze den Daumen der linken Hand auf das Lineal und bewege mit der rechten den Flächenmaaßstab bis auf b, dann wird die innere Kante des Lineals, den gesuchten Inhalt des Dreiecks a b c an dem Maaßstabe abschneiden.
   Die punktirten Linien (Fig. V.) bezeichnen die Lage des Instruments über der Figur wenn alle 4 Bewegungen gemacht sind: E F - die mit A D parallel auf das Instrument getragene Grundlinie; C B - die, vermittelst K L, über B senkrecht getragene Höhe der Figur; E G - die durch C gehende Diagonale, welche in G den Inhalt der Figur an dem Flächenmaaßstabe F H abschneidet.

2^te Aufgabe.

9. Den Inhalt eines Parallelogramms zu finden.
   Man denke sich a b c d (Fig. VI.) durch die Diagonale b c in 2 gleiche Dreiecke getheilt und messe nun eins derselben nach der 1ten Aufgabe, so ist das Doppelte des gefundenen Maaßes der Inhalt der ganzen Figur.


3^te Aufgabe.

10. Ein Trapez zu messen.
    1) Man lege wie bei der 1ten Aufgabe A auf a (Fig. VII.) und A D über a d; 2) Man drücke den Triangel I K L mit der Linken fest an und ziehe mit der Rechten das Instrument zurück bis die Kante A D den Punkt b durchschneidet; 3) Man halte das Instrument mit der Rechten fest und schiebe K L auf c; 4) Man bilde wie in den vorigen Aufgaben eine Diagonale aus A und schiebe den Maaßstab auf d, der alsdann da, wo ihn die innere Kante des Lineals berührt, den Inhalt der beiden Dreiecke a b c und a d b zusammen angibt. Die Lage des Instruments nach vollendeter Funktion ist hier ebenfalls durch punktirte Linien angedeutet. Eben so bequem kann man bei diesen Aufgaben auch den Punkt K und die Kante K L zum Anlegen an die Grundlinie gebrauchen, und auf die vorgeschriebene Art verfahren.


4^te Aufgabe.

11. Ein Trapez gleich einem Parallelogramm zu messen, wenn zwei Seiten desselben parallel sind.
    Man halbire b c (Fig. IX.) in e und messe das Dreieck a e d wie bei der 1ten Aufgabe gezeigt worden, dann verdoppele man das gefundene Maaß so hat man den Inhalt des ganzen Vierecks: denn zieht man g e f parallel a d bis zum Durchschnittspunkt f der verlängerten Seite a b, so entsteht das gleiche Parallelogramm a f g d = 2 D a e d. Bei Fig. VIII halbire man a b und c d, lasse aus e und f Senkrechte auf a d fallen und verfahre dann mit dem Dreieck g b h wie in der vorigen Aufgabe gelehrt worden: denn g h ist die halbe Summe der Parallelseiten a d, b c folglich Trap. a b c d = 2 D g b h.
12. Auch ein ganz unregelmäßiges Trapez läßt sich in ein Parallelogramm verwandeln und auf dieselbe Weise messen, es ist aber einleuchtend daß dieses Verfahren überhaupt nur da mit Vortheil angewendet werden kann, wo man die dabei nöthige Verwandlung der Figur ohne merklichen Irrthum nach dem Augenmaaß bewerkstelligen kann, weil eine solche Construktion, wenn sie mit mathematischen Werkzeugen vollzogen werden müßte, natürlich mehr Zeit wegnehmen würde, als dadurch gespart wird, daß man anstatt 5 Bewegungen (wie bei Auflösung der 3ten Aufgabe) deren nur 4 zu machen hat, um den Inhalt der ganzen Figur zu finden. Erwägt man nun noch, daß das hierbei erforderliche Verdoppeln des gefundenen Maaßes schon leichter einen Irrthum zuläßt, und daß dadurch auch die unvermeidlichen Fehler, welche Mangelhaftigkeit des Auges oder des Werkzeugs hervorbringen, sich verdoppeln, so ist der Vortheil, welchen dieses Verfahren gewährt nur sehr gering, und man thut in allen Fällen, wo man nicht eine große Anzahl beinahe regelmäßiger Figuren zu messen hat besser, sich des §19 beschriebenen, sicherern und genauern Verfahrens zu bedienen.

5^te Aufgabe.

13. Den Inhalt einer Figur zu messen deren Höhe und Grundlinie durch Zahlen bestimmt ist.
    1) Man richte den Triangel I K L so, daß der Rand K R die gegebene Höhe auf dem Maaßstabe P O abschneidet. 2) Man schiebe den Flächenmaaßstab an der Kante A D fort bis der Rand F S auf dem Maaßstabe A D die gegebene Länge zeigt, so wird, wie bei den vorigen Aufgaben, das Produkt durch eine aus E gebildete Diagonale abgeschnitten. Nur ist dabei zu bemerken, daß man entweder zu dieser Berechnung einen besondern, für die Eintheilung berechneten Flächenmaaßstab haben, oder daß gefundene Produkt nach jener reduziren müsse, welches am leichtesten dann geschehen kann, wenn die Eintheilung so gemacht ist, daß man nur mit 10 dividirt um die Reduktion zu vollziehen. Eben so leicht läßt sich auch der Maaßstab so einrichten, daß beim Rechnen das gefundene Produkt unverändert beibehalten, beim Messen dagegen mit 10 multiplizirt wird.
14. In wiefern das Planimeter zugleich auch dazu dienen kann, eine auf dem Papier aufgetragene Fläche in beliebige Stücke zu theilen, wird demjenigen welcher überhaupt die Grundsätze solcher Theilungen kennt, bald einleuchten. Obwohl indessen das Theilungsgeschäft durch das Planimeter rascher von Statten geht als durch Rechnung, so möchte doch die letztere Verfahrungsart der größeren Genauigkeit wegen, in den meisten Fällen den Vorzug verdienen, und ich habe es daher auch für überflüssig gehalten, diesen Gebrauch des Instrumentes in der gegenwärtigen Abhandlung umständlicher zu erörtern.
15. Jetzt noch einige Worte über die Prüfung des Instrumentes.
    a) Man zeichne ein ungleichseitiges Dreieck und messe es wiederholt, indem man eine Seite nach der andern als Grundlinie annimmt. Stimmen die Resultate aller 3 Messungen überein, so kann man ziemlich versichert seyn, daß in dem Mechanismus des Instrumentes kein Fehler obwaltet.
16. b) Man theile eine als Grundlinie angenommene Länge in 10 - 12 gleiche Theile, lege mit einer beliebigen Höhe das Instrument darauf an, und messe nun zuerst den Inhalt der ganzen Figur, dann setze man mit unverrücktem Instrument die Messung dergestalt fort, daß man durch Fortschieben des Flächenmaaßstabes jedesmal von der gemessenen Figur einen der eben erwähnten Theile der Grundlinie abschneidet, so daß durch die letzte Messung der Inhalt eines einzelnen Theils mit der angenommenen Höhe gefunden wird. Nehmen nun alle einzelne Resultate in dem richtigen Verhältnis ab, nämlich: n, n-1, n-2, n-3 ... n-n, so ist dieß ein Beweis für die Richtigkeit derjenigen Funktion des Instrumentes, durch welche die Grundlinie von dem Papier auf das Instrument nach E F getragen wird. Sind dagegen bei ganz richtigem Ansatz des Instrumentes die letzten (also die kleinsten) Resultate im Verhältnis zu den ersten zu klein oder zu groß, so wird in dem ersteren Falle die Grundlinie zu klein und in dem andern zu groß nach E F transportirt, welcher Fehler indessen entweder durch Berichtigung des Anlegestrichs oder der, jedesmal die Grundlinie der Figur schließenden Leiste unter dem Flächenmaaßstabe, leicht gehoben werden kann.
17. Auf ähnliche Art läßt sich auch prüfen ob der Punkt C die Höhe der zu messenden Figure genau auf das Instrument überträgt, indem man nämlich auf eine willkührlich angenommene Grundlinie eine Senkrechte errichtet, diese in eine beliebige Anzahl gleicher Theile theilt und nun bloß durch Fortschieben des Triangels I K L von einem Punkt zum andern, die Höhe der Figur, aber nicht ihre Grundlinie verändert. Die Vergleichung der durch diese Messungen gefundenen Resultate zeigt dann, wie oben, ob die Höhe richtig auf das Instrument transportirt wird. Ein vielleicht noch obwaltender Fehler der Art läßt sich jedoch der Vor- oder Zurücksetzen des Punktes E leicht heben, zumal wenn der Vorsprung E Q so eingerichtet ist, daß er vor- und rückwärts geschraubt werden kann.
18. Ob der Flächenmaaßstab des Instrumentes genau mit dem des zu messenden Planes übereinstimme, läßt sich am sichersten dadurch prüfen, daß man das Resultat einer mit verschiedenen Grundlinien wiederholten Messung, einer genau konstruirten und berechneten regelmäßigen Figur, mit dem der Berechnung im Mittel vergleicht.
    Wird der Flächenmaaßstab zu klein oder zu groß gefunden, so hat der Fehler darin seinen Grund, daß eine von C auf E F fallende Senkrechte entweder zu wenig oder zu weit von E entfernt ist, und es müßte also der eine oder der andere dieser Punkte beweglich seyn, wenn das rechte Verhältniß gefunden werden sollte. Da indessen ein diese Bewegung vollziehender Mechanism leicht der Genauigkeit des Instrumentes schaden könnte, so ist es gerathener wenn der Mechanikus die Eintheilung des Flächenmaaßstabes aussetzt, bis das Instrument fertig und in allen Bewegungen völlig justirt ist. Dann ist es leicht nach dem Maaßstabe des zu berechnenden Plans eine nach Gutdünken gewählte Höhe und Grundlinie auf das Instrument zu tragen und vermittelst des Lineals M N auf dem Flächenmaaßstabe einen Punkt zu bezeichnen der mit dem Anfangspunkt des Maaßstabes (welcher durch E bestimmt wird) das Maaß eines, aus der angenommenen Höhe und Grundlinie gebildeten Dreiecks genau einschließt. Theilt man nun die gefundene Länge nach dem aus den erwähten Faktoren durch Rechnung gefundenen Produkte ein und setzt diese Eintheilung bis an das Ende des Maaßstabes fort, so darf man bei sonst genauer Arbeit versichert seyn, das rechte Verhältniß beider Maaßstäbe getroffen zu haben.
    Diese hier vorgeschlagenen Prüfungen sind völlig hinreichend um über die Genauigkeit des Instrumentes ein sicheres Urtheil zu begründen und ich schließe daher hier meine Abhandlung mit dem Wunsche daß das Planimeter durch den Gebrauch noch immer mehr vervollkommnet und allgemein mit Nutzen angewendet werden möge.

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